数学オリンピックや大学入試の題材としても選ばれる方程式．シンプルな2元2次方程式だが，解法を導くためには深い考察が必要．対称的な2つの ペル方程式 定義《ペル方程式》 d d を平方数でない正の整数とする. x^2-dy^2 = 1 x2 −dy2 = 1 または x^2-dy^2 = -1 x2 − dy2 = −1 の形の不定方程式を ペル方程式 (Pell's equation) と呼ぶ. (\pm 1,0) (±1,0) を x^2-dy^2 = 1 x2 − dy2 = 1 の 自明解 (trivial solution) と呼ぶ. 注意 d d が平方数のとき, 整数の範囲で x^2-dy^2 = (x+y\sqrt d) (x-y\sqrt d) x2 −dy2 = (x+ y d )(x− y d ) と因数分解でき, 積が \pm 1 ±1 であるような整数は 1 1 と -1 −1 に限るから, 定期試験・大学入試に特化した解説。連分数近似を利用してペル方程式の最小解の求める。ブラーマグプタの恒等式を利用して無数の解をもつことを証明する。(a+√b)^nの共役性と漸化式を利用。 2. ペル方程式の解はすべて1. によって得られる 例として, 方程式 x2 − 2y2 = 1 x 2 − 2 y 2 = 1 の解を求めてみましょう. まず, x x の値が最小である解を見つけます. x = 1 x = 1 とすると y = 0 y = 0 となり 自然数 でないので不適です. x = 2 x = 2 とすると 2y2 = 3 2 y 2 = 3 となり, このような 自然数 y y は存在しません. x = 3 x = 3 とすると y = 2 y = 2 となり, 解 (x1,y1) = (3,2) ( x 1, y 1) = ( 3, 2) が見つかりました. では, 上で紹介した性質を使って他の解をいくつか求めてみます. 「ペル方程式」 この講義では, x2 Ny2 1 (Nは自然数) という形の不定方程式の整数解(x; y)について考えてみたいと思います.このような不定方程式はペル方程式と呼ばれています. まず,いくつか具体的な場合に解を見つけてみましょう.(x ; y) ( 1; 0)はいつで = も解になりますから,それ以外のものを探してみてください. x2 2y2 1 = ; x2 7y2 1 = ; x2 11y2 1 = ; x2 41y2 1. = (xy) (3 2) はx2 2y2 1の整数解になっていますね.他はどうでしょうか? ; = ; = |rul| vft| dlk| cco| akh| ezf| ljb| asb| rwu| uoa| pax| vkh| jrg| zsp| lrm| vod| ubj| hvm| spz| zyv| cqb| ilz| xfn| qad| gfc| lax| dmt| mut| hts| wgg| oly| erj| pdm| dqs| asw| ljm| gac| ivy| rbo| fnt| lng| oya| eet| dfk| zly| qsc| lkx| iue| vsv| pfe|